Question

18．若a≥0，試討論函數g（x）=lnx+ax²-（2a+1）x在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 求出函數的導函數，求得導函數的零點，然后對a分類分析導函數在各區間段內的符號，得到原函數的單調區間．

解答 解：$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$．
∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），
∴當a=0時，$g'（x）=-\frac{x-1}{x}$，
由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．
即函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當a＞0時，令g'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2a}$．
若$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，
由g'（x）＞0，得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2a}$，由g'（x）＜0，得$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
即函數g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$，（1，+∞）上單調遞增，在$（\frac{1}{2a}，1）$單調遞減；
若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，
由g'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{1}{2a}$．
即函數g（x）在（0，1），$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調遞增，在$（1，\frac{1}{2a}）$單調遞減；
若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0．
即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．
綜上所述：
當a=0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，
在$（1，\frac{1}{2a}）$單調遞減；在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上單調遞增；
當$a=\frac{1}{2}$時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當$a＞\frac{1}{2}$時，函數g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上單調遞增，
在$（\frac{1}{2a}，1）$單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．