Question

8．2017高考特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，為此某校高三年級(jí)特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（文、理科試卷滿分均為100分），并對(duì)整個(gè)高三年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)閇50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于50分）．
（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）若高三年級(jí)共有2000名學(xué)生，試估計(jì)高三學(xué)生中這次測(cè)試成績不低于70分的人數(shù)；
（3）若在樣本中，利用分層抽樣的方法從成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加這次考試的考后分析會(huì)，試求[80，90），[90，100]兩組中至少有1人被抽到的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出第4組的頻率，從而得到x=0.02，從而可估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)和中位數(shù)．
（2）先求出50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率為0.6，由此可以估計(jì)高三年級(jí)2000名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)．
（3）三組中的人數(shù)分別為15，10，5，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1．記成績?cè)赱70，80）這組的3名學(xué)生分別為a，b，c，成績?cè)赱80，90）這組的2名學(xué)生分別為d，e，成績?cè)赱90，100]這組的1名學(xué)生為f由此利用列舉法能求出從中任抽取3人，[80，90），[90，100]兩組中至少有1人被抽到的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，
故x=0.02．
故可估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）．
由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4，前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7，故中位數(shù)在第3組中．
設(shè)中位數(shù)為t分，
則有（t-70）×0.03=0.1，所以$t=73\frac{1}{3}$，
即所求的中位數(shù)為$73\frac{1}{3}$分．
（2）由（1）可知，50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6，
由以上樣本的頻率，可以估計(jì)高三年級(jí)2000名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)為2000×0.6=1200．
（3）由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1．
記成績?cè)赱70，80）這組的3名學(xué)生分別為a，b，c，成績?cè)赱80，90）這組的2名學(xué)生分別為d，e，
成績?cè)赱90，100]這組的1名學(xué)生為f，
則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為：
（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），
（a，d，f），（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），
（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）共20種．
其中[80，90），[90，100]兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為（a，b，c），只有1種，
故[80，90），[90，100]兩組中至少有1人被抽到的概率為$P=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．