Question

【題目】已知直線與橢圓:交于兩點.

（1）若線段的中點為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點,是否存在點,使得始終為定值?若存在,求點的坐標,并求出該定值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，,定值為.

【解析】

（1）設,代入橢圓得根據點差法,即可求得答案;

（2）設,當直線與軸重合時,有;當直線與軸垂直時,由,解得,結合已知,即可求得答案.

（1）設,

代入橢圓得

兩式相減得:,

,

線段的中點為

,,

直線的斜率為:

直線的方程為:,

即:

（2）設,當直線與軸重合時,

有;

當直線與軸垂直時,

由,

解得

存在點,則,,

根據對稱性,只考慮直線過點,

設,

設直線的方程為,

由,消掉,

可得:,

根據韋達定理可得:,

,

同理,

,

綜上所述,存在點M(,0),使得為定值.