Question

【題目】設函數f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函數f(x)在x＝1處與直線y＝－相切。

(1)求實數a，b的值；

(2)求函數f(x)在上的最大值。

Answer 1

【答案】（1）.

（2）f(x)max＝.

【解析】

分析：（1）對f(x)進行求導， 欲求出切線方程，只需求出其斜率即可，故先利用導數求出在處的導數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，列出關于a，b的方程求解即可；

（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值.

詳解：(1)f′(x)＝－2bx，

∵函數f(x)在x＝1處與直線y＝－相切，

∴　解得

(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2，f′(x)＝－x＝，

當≤x≤e時，令f′(x)>0，得≤x<1，

令f′(x)<0，得1<x≤e，

∴f(x)在[，1)上是增加的，在(1，e]上是減少的，

∴f(x)max＝f(1)＝－