Question

【題目】設數列的前n項和為，對任意正整數n，皆滿足（實常數）．在等差數（））中，，．

（1）求數列的通項公式；

（2）試判斷數列能否成等比數列，并說明理由；

（3）若，，求數列的前n項和，并計算：（已知）．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3），

【解析】

（1）因為對任意正整數n，皆滿足，令，得，令，得，，又因為數列是等差數列，則公差，數列的通項公式可求．

（2）根據題意，，所以當時，，兩式相減得：．即數列是等比數列，假設數列能成等比數列，推出，矛盾，故假設錯誤，即數列不能成等比數列，

（3），故的前n項和可以用錯位相減法求，得到的前n項和后再求其極限即可．

解：（1）由，令得，，所以，，所以，．

等差數列的公差．

所以數列的通項公式

（2）因為對任意正整數n，皆滿足，

所以當時，，兩式相減得：．

即，所以數列是等比數列，公比為，．

假設數列能成等比數列，則對任意正整數k，，即，

因為，所以，即．顯然不成立．

因此數列不可能為成等比數列．

（用特殊的項加以說理亦可：例如，假設數列能成等比數列，則數列前3項也成等比，即，，因為，所以不成立）

（3），

，

，

上述兩式相減得：，

所以．

，

．