Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），關于數列{a_n}有下列命題：
①若{a_n}既是等差數列又是等比數列，則a_n=a_n+1（n∈N^*）；
②若S_n=an²+bn，（a，b∈R），則{a_n}是等差數列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數列；
④若{a_n}是等比數列，則S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）也成等比數列；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,數列的概念及簡單表示法

專題：等差數列與等比數列,簡易邏輯

分析：對于①，直接由等差數列和等比數列的定義列式判斷；
對于②和③，利用給出數列的和求通項的方法分類求出通項，然后由等差數列和等比數列的定義加以驗證；
對于④，舉反例加以說明．

解答： 解：對于①，若{a_n}既是等差數列又是等比數列，則a_n+1-a_n=d，

an+1

an

=q，
即（q-1）a_n=d．
若q=1，有a_n=a_n+1（n∈N^*）．
若q≠1，則an=

d

q-1

為常數，則有a_n=a_n+1（n∈N^*）．
∴命題①正確；
對于②，由S_n=an²+bn，（a，b∈R），
當n=1時，a₁=S₁=a+b，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=an2+bn-[a(n-1)2+b(n-1)]=2an-a+b．
當n=1時a₁適合上式．
∴a_n=2an-a+b．滿足a_n+1-a_n=2a為常數．
∴命題②正確；
對于③，若S_n=1-（-1）ⁿ，
當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=1-(-1)n-[1-(-1)n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
當n為奇數時，a_n=2．當n為偶數時，a_n=-2．
∴{a_n}是等比數列．
命題③正確；
對于④，{a_n}是等比數列，如1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…
則S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）不成等比數列．
命題④錯誤．
∴正確的命題是：①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查等差數列和等比數列的有關基礎知識，考查等比數列的性質，解答的關鍵在于對基礎知識的理解與掌握．是基礎題．