Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，且3S₁，2S₂，S₃成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃a_n，求T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由3S₁，2S₂，S₃成等差數列，求得公比q，寫出通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₃a_n=log33n=n，b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（2n-1）•2n-2n（2n+1）=-4n，利用分組求和，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵3S₁，2S₂，S₃成等差數列，∴4S₂=3S₁+S₃，
∴4（a₁+a₂）=3a₁+（a₁+a₂+a₃），即a₃=3a₂，∴公比q=3，
∴a_n=a₁q^n-1=3ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₃a_n=log33n=n，
∵b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（2n-1）•2n-2n（2n+1）=-4n，
∴T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=-4（1+2+3+…+n）=-4×

n(n+1)

2

=-2n²-2n．…（12分）

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的定義及性質，考查分組求和的方法及學生的運算能力，屬中檔題．