Question

已知圓，圓，動(dòng)圓與已知兩圓都外切.
（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程；
（2）直線與點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，的中垂線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程為：；（2）

試題分析：（1）兩圓外切，則兩圓圓心之間的距離等于兩圓的半徑之和，由此得將兩式相減得：
由雙曲線的定義可得軌跡的方程.
（2）將直線的方程代入軌跡的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到、的中點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示），從而得的中垂線的方程。再令得點(diǎn)的縱坐標(biāo)（用表示）.根據(jù)的范圍求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
本小題中要利用及與雙曲線右支相交求的范圍，這是一個(gè)易錯(cuò)之處.
試題解析：（1）已知兩圓的圓心、半徑分別為
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意知：
則
所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，其中，則
由此得的方程為：                                4分
（2）將直線代入雙曲線方程并整理得：
設(shè)的中點(diǎn)為
依題意，直線與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，故

且
則的中垂線方程為：
令得：                             12分