Question

已知拋物線：．過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．

(Ⅰ)若直線的斜率為1，求；
(Ⅱ)求面積的最小值．

Answer 1

（1）；（2）最小值為2.

試題分析：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.第一問(wèn)，由已知得出直線l的方程，與拋物線聯(lián)立，得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求；第二問(wèn)，由于直線l的斜率不知道，所以設(shè)出直線方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出兩根之和，兩根之積，設(shè)出在點(diǎn)處的切線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的高，再求，代入到三角形面積公式中，再把兩根之和，兩根之積代入得到關(guān)于的表達(dá)式，利用配方法求最值.
試題解析：(Ⅰ)由題意知，直線的方程為，由消去解得， ．
所以．           6分
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)，．
由消去整理得，
知， ，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025524615678.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為， ．
得兩切線的交點(diǎn)．所以點(diǎn)到直線的距離為．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240255247561703.png" style="vertical-align:middle;" />．
設(shè)的面積為，所以（當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）．
所以面積的最小值為2．                                  14分