Question

【題目】已知是橢圓：上一點，以點及橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過作斜率存在且互相垂直的直線，，是與兩交點的中點，是與兩交點的中點，求△面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）通過已知建立方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線：，聯立直線和橢圓方程得到韋達定理，求出,令，，則再利用導數求函數的最大值得解.

解：（Ⅰ）由點在橢圓上可得，

整理得①．

，解得，

所以，代入①式整理得，

解得，．

所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以設直線：，

聯立直線與橢圓的方程，整理得．

所以直線與橢圓兩交點的中點的縱坐標，

同理直線與橢圓兩交點的中點的縱坐標，

所以

，

將上式分子分母同除可得，

，

不妨設，令，，則，

令，，因為，所以，

所以在單調遞增，

所以當時，三角形△面積取得最大值．