Question

【題目】設{an}是各項都為整數的等差數列，其前n項和為，是等比數列，且，，，.

（1）求數列，的通項公式；

（2）設cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn， .

（i）求Tn；

（ii）求證：2.

Answer 1

【答案】（1），，（2）（i）n3（ii）證明見解析；

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，運用等差數列和等比數列的通項公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項公式；

（2）（i）運用對數的運算性質和等差數列的求和公式可得，an2﹣n﹣1+2i，再由數列的分組求和，結合等差數列的求和公式，計算可得所求和；

（ii）推得，再由數列的裂項相消求和，結合不等式的性質，即可得證.

解：（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，由，，，可得，

解得d＝2，q＝2或d，q＝5，

由于{an}是各項都為整數的等差數列，所以d＝2，q＝2，

從而，，；

（2）（i）∵log2bn＝log22n﹣1＝n﹣1，

∴cn＝0+1+2+…+（n﹣1）n（n﹣1），

∴a2（i）﹣1＝n2﹣n﹣1+2i，

∴Tn＝（n2﹣n﹣1+2）+（n2﹣n﹣1+4）+…+（n2﹣n﹣1+2n）

＝n（n2﹣n﹣1）+（2+4+…+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+n（n+1）＝n3；

（ii）證明：

，

而，

∴，

∴

＝1，

由于0，

可得12.

則.