Question

【題目】已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，分別令，解出不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由 得方程 ，顯然 為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí), 方程可化簡為，設(shè)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得到 的最小值, 因?yàn)?/span>，再對討論，得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（1）因?yàn)?/span>，所以.

由得；由得.

所以由的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（2）因?yàn)?/span>.

由，得或.

設(shè)，又即不是的零點(diǎn)，

故只需再討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

①當(dāng)即時(shí)，無零點(diǎn)；

②當(dāng)即時(shí)， 有唯一零點(diǎn)；

③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

令則.

設(shè)，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，都有.

所以.

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).