Question

【題目】如圖，三棱錐中，已知，，的平分線，且棱錐的三個側面與底面都成角，求棱錐的側面積與體積．

Answer 1

【答案】側；

【解析】

設，由得到，及，頂點在底面上的射影為的內心，由余弦定理得到BC，進一步算得內切圓半徑，進一步得到到底面距離為，以及，再利用側面積、體積公式運算即可.

在底面中，設，則，

所以

即，

，又，

所以，從而，

．

過P作平面ABC，過O分別作，

連接，又，，

所以平面，所以，同理，

所以、、為三個側面與底面都成的角，

且大小等于，，所以為內心，

則在上，設，則（為內切圓半徑）．

在中，，

由余弦定理，得

，所以，

設為的半周長，則

，∴，

，

側

∴．從而.

【點晴】

本題主要考查錐體的體積及側面積的計算，涉及到面積射影定理、余弦定理的應用，考查學生的數學運算能力，空間想象能力，是一道中檔題.