Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，AB=3，=4，M為的中點，P是BC邊上的一點，且由點P沿棱柱側面經過棱到M點的最短路線長為，設這條最短路線與的交點為N，求

（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長.

（2）PC和NC的長

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）PC=2，NC= （3）

【解析】

（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．
（2）在側面展開圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（3）補形，找出兩面的交線，由三垂線定理作出二面角的平面角，二面角易求．

解：(1)正三棱柱的側面展開圖是一個長為9,寬為4的矩形

故其對角線長為；

(2)如圖,將側面繞棱旋轉120使其與側面在同一平面上,點P運動到點的位置,連接,則就是由點P沿棱柱側面經過棱到點M的最短路線

設，則，在中，由勾股定理得x=2,

，

，

；

(3)如圖,連接，則就是平面NMP與平面ABC的交線,作NH⊥于H,又⊥平面ABC,連接CH,由三垂線定理得,CH⊥，

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)，

在中, ，

，

在中, ，

故平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為，