Question

【題目】對于集合,定義函數對于兩個集合,定義集合. 已知, .

(Ⅰ)寫出和的值,并用列舉法寫出集合;

(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的個數,求的最小值;

(Ⅲ)有多少個集合對,滿足,且?

Answer 1

【答案】(1) ,, ，(2)4，（3）128

【解析】試題分析：（Ⅰ）依據定義直接得到答案；（Ⅱ）根據題意可知：對于集合,

①且,則;②若且,則.，據此結論找出滿足條件的集合，從而求出的最小值．（Ⅲ）由P，QA∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所滿足的條件，進而確定集合對（P，Q）的個數．

試題解析：

(Ⅰ) ,, .

(Ⅱ)根據題意可知：對于集合,

①且,則;

②若且,則.

所以要使的值最小,2,4,8一定屬于集合;1,6,10,16是否屬于不影響的值;集合不能含有之外的元素.

所以當為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時, 取到最小值4.

(Ⅲ)因為,

所以.

由定義可知： .

所以對任意元素,,

.

所以.

所以.

由知： .

所以.

所以.

所以,即.

因為,

所以滿足題意的集合對的個數為.