Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

證明平面即可證明平面平面（2）由題確定二面角的平面角為，進而推出為線段的中點，以為坐標原點建立空間直角坐標系由空間向量的線面角公式求解即可

（1）證明：因為四邊形為正方形，

所以，

又，，

所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面，又，則平面，從而，

又，所以二面角的平面角為.

以為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，.

因為三棱錐的外接球的球心為，所以為線段的中點，

則的坐標為，.

設平面的法向量為，則，

即令，得.

易知平面的一個法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.