Question

【題目】已知函數f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的單調區間，

（2）若關于x不等式aex≥x+b對任意和正數b恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數單調性的關系即可求出；

（2）先根據（1）利用導數和函數最值的關系求出，可得，設，利用導數求出函數的最小值即可.

（1）f′(x)=aex﹣1，

當a≤0時， <0，f(x)在R上單調遞減，

若a>0時，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，

在x>﹣lna時， >0，f(x)為增函數，

在x<﹣lna時， <0，f(x)為減函數，

所以，當時，的單調減區間為，無增區間；

當時，的單調減區間為，增區間為.

（2）f(x)=aex﹣x，由題意f(x)min≥b，

由（1）可知，當a≤0時，f(x)在R上單調遞減，無最小值，不符合題意，

當a>0時，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，

∴，

設h(a)，則 ，

a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，

∴h(a)min=h（1）=1.

所以的最小值為.