Question

【題目】如圖，某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園，其中O為扇形所在圓的圓心，AOB＝，OA，OB，為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要，市政部門擬在上選取一點M，新建道路OM及與OA平行的道路MN（點N在線段OB上），設AOM＝.

（1）如何設計，才能使市民從點O出發沿道路OM，MN行走至點N所經過的路徑最長？請說明理由；

（2）如何設計，才能使市民從點A出發沿道路，MN行走至點N所經過的路徑最長？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，市民從點O出發沿道路OM，MN行走所經過的路徑最長，詳見解析（2）當時，市民從點A出發沿道路AM，MN行走所經過的路徑最長，詳見解析

【解析】

（1）由題意知OM＝OA＝R，且，由正弦定理得，則，根據正弦函數的單調性即可求出答案；

（2）由題意得市民從點A出發沿道路AM，MN行走所經過的路徑長，求導得函數的單調性，由此可求出答案．

解：（1）由題意知OM＝OA＝R，且，

在△OMN中，由正弦定理得，

于是，

從而市民從點O出發沿道路OM，MN行走所經過的路徑長

，

∴當即時，取最大值，

即當時，市民從點O出發沿道路OM，MN行走所經過的路徑最長；

（2）市民從點A出發沿道路AM，MN行走所經過的路徑長，

，

當，時，，從而恒成立，

∴在上單調遞增，

∴當時，取最大值，

即當時，市民從點A出發沿道路AM，MN行走所經過的路徑最長．