Question

【題目】已知橢圓E：=1（a＞b＞0）的焦距為2 ， 且該橢圓經過點(,)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）經過點P（﹣2，0）分別作斜率為k1 ， k2的兩條直線，兩直線分別與橢圓E交于M，N兩點，當直線MN與y軸垂直時，求k1k2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得，2c=2，=1；
解得，a2=4，b2=1；
故橢圓E的方程為+y2=1；
（Ⅱ）由題意知，當k1=0時，M點的縱坐標為0，
直線MN與y軸垂直，
則點N的縱坐標為0，
故k2=k1=0，這與k2≠k1矛盾．
當k1≠0時，直線PM：y=k1（x+2）；
由得，
（+4）y2﹣=0；
解得，yM=；
∴M（，），
同理N（，），
由直線MN與y軸垂直，則=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【解析】（Ⅰ）由題意得，2c=2 ， =1；從而求橢圓E的方程；
（Ⅱ）由題意知，當k1=0時，M點的縱坐標為0，點N的縱坐標為0，故不成立；當k1≠0時，直線PM：y=k1（x+2）；聯立方程得（+4）y2﹣=0；從而解得yM=；可得M（ ， ），N（ ， ）；從而可得（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，從而解得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．