Question

【題目】如圖，M、N是焦點為F的拋物線y2=2px（p＞0）上兩個不同的點，且線段MN中點A的橫坐標為4- ，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直線MN與x軸交于點B點，求點B橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2時，y2=4x，
若直線MN斜率不存在，則B（3，0）；
若直線MN斜率存在，設A（3，t）（t≠0），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則
代入利用點差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴kMN=，
∴直線MN的方程為y﹣t=（x﹣3），
∴B的橫坐標為x=3﹣，
直線MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴點B橫坐標的取值范圍是（﹣3，3）．
【解析】（1）利用拋物線的定義，求|MF|+|NF|的值；
（2）分類討論，利用差法，即可求點B橫坐標的取值范圍．