Question

【題目】如圖,EP交圓于E,C兩點,PD切圓于D,G為CE上一點且PG=PD,連結DG并延長交圓于點A,作弦AB垂直EP,垂足為F.

（Ⅰ）求證:AB為圓的直徑;

（Ⅱ）若AC=BD,求證:AB=ED.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由切割線定理得∠PDA=∠DBA,由PG=PD,得∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA,即B,D,F,G四點共圓，從而∠BDA=∠PFA.而AF⊥EP,所以∠PFA=90°, ∠BDA=90°（2）由AC=BD,可得DC∥AB，所以DC⊥EP，即ED為直徑.因此AB=ED.

試題解析：證明　(1)因為PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD為切線,故∠PDA=∠DBA,

又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.

由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直徑.

(2)連結BC,DC.

由于AB是直徑,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,

從而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因為∠DCB=∠DAB,

所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.由于AB⊥EP,

所以DC⊥EP,∠DCE為直角.于是ED為直徑.由(1)得ED=AB.