Question

已知拋物線與橢圓有公共焦點，且橢圓過點.
（1）求橢圓方程；
（2）點、是橢圓的上下頂點，點為右頂點，記過點、、的圓為⊙，過點作⊙ 的切線，求直線的方程；
（3）過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點、，試問直線是否經過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）．

試題分析：（1）由題目給出的條件直接求解的值，則可求出橢圓方程；（2）當所求直線斜率不存在時，其方程為，符合題意；當直線斜率存在時，可設其斜率為，寫出直線的點斜式方程，因為直線與圓相切，所以根據圓心到直線的距離等于圓的半徑可直接求得直線的斜率，從而得到方程；（3）由題意可知，兩直線的斜率都存在，設AP：，代入橢圓的方程從而求出點的坐標，同理再求出點的坐標，從而可求出直線的方程，由方程可知當時，恒成立，所以直線恒過定點．
試題解析：
(1)，則c=2, 又，得
∴所求橢圓方程為 ．
(2)M,⊙M:，直線l斜率不存在時，，
直線l斜率存在時，設為，
∴，解得，
∴直線l為或 ．
（3）顯然，兩直線斜率存在, 設AP：，
代入橢圓方程，得，解得點，
同理得，直線PQ：，
令x=0，得，∴直線PQ過定點．