Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線C于，兩點．

（Ⅰ）當時，求的值；

（Ⅱ）過點A作拋物線準線的垂線，垂足為E，過點B作EF的垂線，交拋物線于另一點D，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.

【解析】

（Ⅰ）求出焦點坐標，設出方程，聯立方程，結合韋達定理可求的值；

（Ⅱ）先求出直線的方程，結合弦長公式求出，利用點到直線的距離求出的高，表示出的面積，結合基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由題意知，設直線AB的方程為，

聯立消去x得．

由根與系數的關系得．當時，．

（Ⅱ）設，，則，

由（Ⅰ）知，所以．

因為，，所以．

所以直線BD的方程為，即．

聯立方程組得消去x得，

所以，．

，

所以．

設點A到BD的距離為d，則．

所以，

當且僅當時等號成立，所以面積的最小值為16．