Question

【題目】函數y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的圖象恒過定點A.

(1) 求點A的坐標；

(2) 若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n都是正數，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）定點A的坐標是(－2，－1)；（2）8.

【解析】試題分析：（1）根據對數函數的性質可求出A的坐標，

（2）將出A的坐標代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．

試題解析：

(1) ∵ 僅當x＝－2時，函數y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的函數值與a無關，且此時y＝－1，

∴ 定點A的坐標是(－2，－1)．

(2) 將點A(－2，－1)的坐標代入mx＋ny＋1＝0，

得(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，2m＋n＝1，

∵ m，n>0，∴＋＝ (2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.

等號當且僅當＝，即m＝，n＝時成立．

故當m＝，n＝時，＋取最小值為8.