Question

【題目】已知函數f(x)，當x，y∈R時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．當x＞0時，f(x)＞0.

(1)求證：f(x)是奇函數；

(2)若f(1)＝，試求f(x)在區間[－2,6]上的最值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1) 令x＝0，y＝0，可得f(0)＝0; 令y＝－x，f(x)＝－f(－x)，即命題成立.(2) 任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1),由x1＜x2，可得f(x2－x1)＞0，即f(x)為增函數，進而求出端點值即函數的最值.

試題解析:

(1)證明：令x＝0，y＝0，則f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)為奇函數．

(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．

∵當x＞0時，f(x)＞0，且x1＜x2，∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)為增函數，

∴當x＝－2時，函數有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.

當x＝6時，函數有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.

點睛:本題考查函數的奇偶性以及由單調性求函數的最值,屬于中檔題目. 若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有.