Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y=k（x+2

2

）和點A（-

2

，0），B（

2

，0），動點P滿足PA=

2

PB，且存在兩點P到直線l的距離等于1，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：設點P（x，y），則由題意可得(x-3

2

)2+y2=16，表示以（3

2

，0）為圓心，半徑等于4的圓．要在圓(x-3

2

)2+y2=16上存在兩點到直線l的距離等于1，則需圓心(3

2

，0)到直線l的距離d∈（3，5），即3＜

|5 2 k|

k2+1

＜5，由此求得k的范圍．

解答： 解：設點P（x，y），則由題意可得 (x+

2

)2+y2=2[(x-

2

)2+y2]，即(x-3

2

)2+y2=16，表示以（3

2

，0）為圓心，半徑等于4的圓．
要在圓(x-3

2

)2+y2=16上存在兩點到直線l的距離等于1，
則需圓心(3

2

，0)到直線l的距離d∈（3，5），即3＜

|5 2 k|

k2+1

＜5，
解得-1＜k＜-

3 41

41

或

3 41

41

＜k＜1，
故答案為：（-1，-

3 41

41

）∪（

3 41

41

，1）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，判斷圓心(3

2

，0)到直線l的距離d∈（3，5），是解題的關鍵，屬于中檔題．