Question

【題目】.已知函數.

（1）討論在上的單調性；

（2）設，若當，且時，，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，分為，，三種情形，根據導數與0的關系得到單調性；

（2）結合（1）易得當時，，當時，可得由，令，，已知可化為在上恒成立，根據函數的單調性求出整數的最小值即可.

（1），，

①當時，因為，所以在上單調遞減，

②當時，令，解得，

令，解得；

即在上單調遞減，在上單調遞增；

③當時，因為，等號僅在，時成立，

所以在上單調遞增，

（2），當時，因為，由（1）知，所以（當時等號成立），所以.

當時，因為，所以，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因為，令，，則，

在上單調遞減，又因為，，

所以存在使得，

當時，，，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞減；

所以，

因為，所以，所以，

所以的最小整數值為.