Question

8．數列{a_n}滿足：a_n+1=2a_n+1，a₁=1．
（Ⅰ）證明：數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}$，n∈N*，求證：b₁•b₂+b₂•b₃+…+b_n•b_n+1＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等比數列的定義即可證明，并求出通項公式，
（Ⅱ）根據對數的運算性質可得${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}=\frac{1}{n}$，再根據裂項求和和放縮法即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
即$\frac{{{a_n}_{+1}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，
所以，數列{a_n+1}是公比為2的等比數列．
${a_n}+1=（{{a_1}+1}）•{2^{n-1}}={2^n}$，
所以${a_n}={2^n}-1$．                          
（Ⅱ）因為${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{{a_n}+1}）}}=\frac{1}{n}$，
所以b₁•b₂+b₂•b₃+…+b_n•b_n+1=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{{n×（{n+1}）}}$=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$＜1

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．