Question

已知拋物線C：x²=y，直線l與拋物線C交于A、B不同兩點，且

OA

+

OB

=（p，6）．
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）設直線m為線段AB的中垂線，請判斷直線m是否恒過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由；
（3）記點A、B在x軸上的射影分別為A₁、B₁，記曲線E是以A₁B₁為直徑的圓，當直線l與曲線E的相離時，求p的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據拋物線的方程，可求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）求出AB中點坐標，確定直線m的方程，分類討論，即可得出結論；
（3）直線AB方程與拋物線方程聯立，求出以A₁B₁為直徑的圓的方程，利用直線l與曲線E的相離，建立不等式，即可求p的取值范圍．

解答： 解：（1）拋物線C：x²=y的焦點坐標為（0，

1

4

），準線方程為y=-

1

4

；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵

OA

+

OB

=（p，6），
∴x₁+x₂=p，x₁²+x₂²=6，
∴AB中點坐標為（

p

2

，3），
∴k_l=x₁+x₂=p，
∴p≠0時，直線m的斜率為-

1

p

，
直線m的方程為y-3=-

1

p

（x-

p

2

），即y=-

1

p

x+

7

2

，
令x=0，則y=

7

2

；
p=0時，直線m的方程為x=0，也過（0，

7

2

），
∴直線m恒過（0，

7

2

）；
（3）設AB：y-3=p（x-

p

2

），即y=px+3-

p2

2

，
與拋物線方程聯立，可得x2-px+

p2

2

-3=0，
∴△＞0，可得p²＜12，
則x₁+x₂=p，x₁x₂=

p2

2

-3，
∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

12-p2

，
∴以A₁B₁為直徑的圓的方程為(x-

p

2

)2+y2=

12-p2

4

，
當直線l與曲線E的相離時，圓心到直線l的距離d＞r，即

3

p2+1

＞

12-p2

2

，
∴（p²-3）（p²-8）＞0，
∵p²＜12，
∴8＜p²＜12或0≤p²＜3，
∴p的取值范圍為（-

3

，

3

）∪（-2

3

，-2

2

）∪（2

2

，2

3

）．

點評：本題考查拋物線的性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，有難度．