Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）若對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間，從而可求函數的最小值；
（Ⅱ）由對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，知2xlnx≥-x²+ax-3，分離參數，求最值，由此能夠求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜

1

e

，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞

1

e

，
∴函數f（x）的減區間為（0，

1

e

），增區間為（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

時，函數取得最小值-

1

e

；
（Ⅱ）∵對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴2xlnx≥-x²+ax-3，
∴a≤2lnx+x+

3

x

，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，
則h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

當x＞1時，h（x）是增函數，
當0＜x＜1時，h（x）是減函數，
∴a≤h（1）=4．
即實數a的取值范圍是（-∞，4]．

點評：本題考查利用導數求函數的單調區間和實數的取值范圍的方法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．