Question

設函數f（x）=|2x-1|-|x+4|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|對一切實數x均成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）通過對自變量x取值范圍的分類討論，去掉原函數式中的絕對值符號，再解相應的不等式即可；
（Ⅱ）利用絕對值不等式f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9可得|a-1|≤9，解之即可．

解答： 選修4-5：不等式選講
解：（I）f(x)=

-x+5，x≤-4 -3x-3，-4＜x＜ 1 2 x-5，x≥ 1 2 .

…（3分）
當x≤-4時，由f（x）＞0得-x+5＞0，解得x≤-4，…（4分）
當-4＜x＜

1

2

時，由f（x）＞0得-3x-3＞，解得-4＜x＜-1，…（5分）
當x≥

1

2

時，由f（x）＞0得x-5＞0，解得x＞5，…（6分）
綜上，得f（x）＞0的解集為{x|x＜-1，或x＞5}．…（7分）
（ II）∵f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9．…（8分）
∴由題意可知|a-1|≤9，解得-8≤a≤10，…（9分）
故所求a的取值范圍是{a|-8≤a≤10}．…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．