Question

【題目】如圖示，A，B分別是橢圓C： （a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，2是|AF與|FB|的等差中項(xiàng)， 是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)．點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l⊥x軸．以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A，M，連接FM交直線l于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的方程；
（2）試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得直線PQ必過該定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得|AF|=a+c，|FB|=a﹣c，

即 ，

解得：a=2，c=1，

∴b2=4﹣1=3，

∴所求橢圓的方程為： =1

（2）

解：假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N（n，0），使得直線PD必過定點(diǎn)N（n，0），

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0），由于P點(diǎn)異于A，B，

故y0≠0，且x0≠±2，

由點(diǎn)P在橢圓上，

故有 ，∴ ，①

又由（1）知A（﹣2，0），F(xiàn)（1，0），∴直線AP的斜率 ，

又點(diǎn)M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點(diǎn)，∴AP⊥FM，

∴ ，

∴直線FM的方程：

聯(lián)立FM，l的方程 ，得交點(diǎn)Q（﹣2， ）．

∴P、Q兩點(diǎn)連線的斜率 ，②

將①式代入②式，并整理得：kPQ= ，

又P，N兩點(diǎn)連線的斜率 ，

若直線QP必過定點(diǎn)N（n，0），則必有kPQ=KPN恒成立

即 整理得： ，③

將①式代入③式，得

解得：n=2，

故直線x過定點(diǎn)（2，0）．

【解析】（1）由題意得|AF|=a+c，|FB|=a﹣c，再由2是|AF與|FB|的等差中項(xiàng)， 是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng)，能求出橢圓的方程．（2）假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N（n，0），使得直線PD必過定點(diǎn)N（n，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0 ， y0），由點(diǎn)P在橢圓上，求出 ，再求出直線FM的方程，聯(lián)立FM，l的方程，得交點(diǎn)Q，由此能求出直線x過定點(diǎn)（2，0）．