Question

【題目】如圖所示，點F1（﹣1，0），F2（1，0），動點M到點F2的距離是 ，線段MF1的中垂線交MF2于點P．

（1）當點M變化時，求動點P的軌跡G的方程；
（2）設直線l：y=kx+m與軌跡G交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α、β，且α+β=π，求證：直線l經過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接PF1，由 ，

∴ ，

又∵|PM|=|PF1|，∴ ，

由橢圓的定義可知2a=2 ，c=1，b=1．

即有動點P的軌跡G的方程為 ；

（2）證明：依題意 ，消去y，得

（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

又 = ， =

依題意得， + =0，

即 + =0，

化簡得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，

∴2k +（m﹣k）（﹣ ）﹣2m=0，

整理得，m=﹣2k，

∴直線l的方程為y=k（x﹣2），

因此直線l經過定點，該定點坐標為（2，0）．

【解析】（1）連接PF1 ， 運用垂直平分線定理和橢圓的定義，可得P的軌跡為橢圓，方程為 ；（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，再由直線恒過定點的方法，即可得到所求定點．