Question

【題目】已知向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1）函數(shù)g（x）=4 ．
（1）求函數(shù)g（x）在[ ， ]上的值域；
（2）若x∈[0，2016π]，求滿足g（x）=0的實數(shù)x的個數(shù)；
（3）求證：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0對x∈（﹣∞，λμ）恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（cosx+sinx，1）， =（cosx+sinx，﹣1），

∴函數(shù)g（x）=4 =4sin2x．

∵x∈[ ， ]，

∴2x∈[ ， ]，

∴sin2x∈[ ，1]，

∴g（x）∈[2，4]；

（2）解：g（x）=0，可得x= ，k∈Z，

∵x∈[0，2016π]，∴ ∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，

∴k的值有4033個，即x有4033個；

（3）證明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即 g（x）＜4﹣x，

故函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方．

顯然，當x≤0時，函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方．

當x∈（0， ]時，g（x）單調(diào)遞增，g（ ）=2，顯然g（ ）＜4﹣ ，

即函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方．

綜上可得，當x≤ 時，函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方．

對任意λ＞0，一定存在μ= ＞0，使λμ= ，滿足函數(shù)g（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方．

【解析】（1）求出函數(shù)解析式，即可求函數(shù)g（x）在[ ， ]上的值域；（2）g（x）=0，可得x= ，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求滿足g（x）=0的實數(shù)x的個數(shù)；（3）分類討論，可得當x≤ 時，函數(shù)f（x）的圖象位于直線y=4﹣x的下方，由此證得結(jié)論成立．