Question

【題目】曲線y=1+ 與直線kx﹣y﹣2k+5=0有兩個交點時，實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：化簡曲線y=1+ ，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）

∴曲線表示以C（0，1）為圓心，半徑r=2的圓的上半圓．

∵直線kx﹣y﹣2k+5=0可化為y﹣5=k（x﹣2），

∴直線經過定點A（2，5）且斜率為k．

又∵半圓y=1+ 與直線kx﹣y﹣2k+5=0有兩個相異的交點，

∴設直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為B（﹣2，1），

當直線的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時，

直線與半圓有兩個相異的交點．

由點到直線的距離公式，當直線與半圓相切時滿足 =2，

解之得k= ，即kAD= ．

又∵直線AB的斜率kAB=1，∴直線的斜率k的范圍為k∈ ．

所以答案是 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．