Question

【題目】已知拋物線y2=﹣x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當△OAB的面積等于 時，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由方程y2=﹣x，y=k（x+1）

消去x后，整理得

ky2+y﹣k=0．

設A（x1，y1）、B（x2，y2），由韋達定理y1y2=﹣1．

∵A、B在拋物線y2=﹣x上，

∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12y22=x1x2．

∵kOAkOB= = = =﹣1，

∴OA⊥OB．

（2）解：設直線與x軸交于N，又顯然k≠0，

∴令y=0，則x=﹣1，即N（﹣1，0）．

∵S△OAB=S△OAN+S△OBN

= |ON||y1|+ |ON||y2|

= |ON||y1﹣y2|，

∴S△OAB= 1

= ．

∵S△OAB= ，

∴ = ．解得k=±

【解析】（1）證明OA⊥OB可有兩種思路：①證kOAkOB=﹣1；②取AB中點M，證|OM|= |AB|．（2）求k的值，關鍵是利用面積建立關于k的方程，求△AOB的面積也有兩種思路：①利用S△OAB= |AB|h（h為O到AB的距離）；②設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），直線和x軸交點為N，利用S△OAB= |ON||y1﹣y2|．