Question

【題目】定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），總有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=n=1，則有f（1）=f（1）f（1），

又f（x）＞0，則f（1）=1

令m=n=﹣1，則有f（1）=f（﹣1）f（﹣1），

又f（1）=1，f（x）＞0，則f（﹣1）=1

（2）解：證明：定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），

令m=x，n=﹣1，則有f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），

所以f（x）為偶函數(shù)

（3）解：證明：x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2

令mn=x1，m=x2，則 ，

所以 ，

又f（x）＞0， ，由x1＞x2＞0，則 ，

而當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1，

所以 ，即 ，

又f（x）＞0，所以f（x1）＞f（x2），

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

【解析】（1）令m=n=1，m=n=﹣1，求f（1），f（﹣1）的值；（2）令m=x，n=﹣1，判斷函數(shù)的奇偶性；（3）設(shè)x1＞x2 ， 由已知得出 ，即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．