Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2，前n項(xiàng)和為Sn ， 若Sn=2（an﹣1），（n∈N+）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 若cn=anbn ， 求{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2（an﹣1），

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2（an﹣1）﹣2（an﹣1﹣1）

=2（an﹣an﹣1），則an=2an﹣1，

又a1=2，則數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，

∴ =2n

（2）解：由（1）得，bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2

=（n+1）2﹣n2=2n+1，

∴cn=anbn=（2n+1）2n，

∴Tn=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①

則2Tn=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②

①﹣②得：﹣Tn=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）2n+1

=6+2× ﹣（2n+1）2n+1=（﹣2n+1）2n+1﹣2，

∴Tn=（2n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由題意和當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn﹣Sn﹣1進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到數(shù)列的遞推公式，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 代入cn=anbn化簡(jiǎn)后，利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Tn ．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．