Question

從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這500件產品質量指標值的樣本平均數

.

x

和樣本方差s²（同一組中數據用該組區間的中點值作代表）；
（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數

.

x

，σ²近似為樣本方差s²．
（i）利用該正態分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區間（187.8，212.2）的產品件數，利用（i）的結果，求EX．
附：

150

≈12.2．
若Z-N（μ，σ²）則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

考點：正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義,離散型隨機變量的期望與方差

專題：計算題,概率與統計

分析：（Ⅰ）運用離散型隨機變量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運用所給數據；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運用EX=np即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）抽取產品的質量指標值的樣本平均數

.

x

和樣本方差s²分別為：

.

x

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件產品的質量指標值位于區間（187.8，212.2）的概率為0.6826，
依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，以及正態分布的特點及概率求解，考查運算能力．