Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中點，點P，Q分別在棱DD₁，BB₁上移動，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）當λ=1時，證明：直線BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立坐標系，求出

BC1

=2

FP

，可得BC₁∥FP，利用線面平行的判定定理，可以證明直線BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）求出平面EFPQ的一個法向量、平面MNPQ的一個法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）證明：以D為原點，射線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸的正半軸，建立坐標系，則B（2，2，0），C₁（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），
∴

BC1

=（-2，0，2），

FP

=（-1，0，λ），

FE

=（1，1，0）
λ=1時，

BC1

=（-2，0，2），

FP

=（-1，0，1），
∴

BC1

=2

FP

，
∴BC₁∥FP，
∵FP?平面EFPQ，BC₁?平面EFPQ，
∴直線BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）設平面EFPQ的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

x+y=0 -x+λz=0

，
∴取

m

=（λ，-λ，1）．
同理可得平面MNPQ的一個法向量為

n

=（λ-2，2-λ，1），
若存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，則

m

•

n

=λ（λ-2）-λ（2-λ）+1=0，∴λ=1±

2

2

．
∴存在λ=1±

2

2

，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查存在性問題，解題時要合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．