Question

【題目】已知函數的導函數為，且，其中為自然對數的底數.

（1）求函數的最大值；

（2）證明 ：.

Answer 1

【答案】（1）0（2）見解析

【解析】分析：(1)由題意可得，明確函數的單調性，從而得到函數的最大值；

（2）由（1）得，即，要證，

即，故只需證，故只需證，

即證成立.

詳解：（1）因為，所以 ，

，

解得則，

所以，

令，得，令得，

所以當時，.

（2）由（1）得的最大值為0，

所以，即，

從而，

要證，

即，

故只需證，

即證成立；

令

則，

令，則，

令，得，

因為單調遞增，所以當時，，單調遞減，即單調遞減.

當時，，單調遞增， 即單調遞增，

因為，，

由零點存在定理可知，，使得，

故當或時，單調遞增；

當時，單調遞減，

所以的最小值是或.

由，得，

，

因為，所以，

故當時，，所以原不等式成立.