Question

【題目】已知函數(shù)

(1)若，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為。

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與 的交點(diǎn)即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍。

（1）由題可得：，定義域?yàn)?/span>，

，

，

令得：或（舍去）

令得：或，結(jié)合定義域得：

令得：，結(jié)合定義域得：

的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，

（2）函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于只有唯一的實(shí)數(shù)根，

顯然，則只有唯一的實(shí)數(shù)根等價(jià)于關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根，

構(gòu)造函數(shù) ，則，

令，解得： ，

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

的極小值為，

如圖，作出函數(shù)的大致圖像，則要使方程只有唯一實(shí)數(shù)根，只需要直線與曲線只有唯一交點(diǎn)，

或，解得：或，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為