Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，又PD⊥平面ABCD，點E是棱AD的中點，F在棱PC上，且AD＝PD＝4．

（1）證明：平面BEF⊥平面PAD；

（2）若PA∥平面BEF，求四棱錐F﹣BCDE的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】

（1）證明PD⊥EB，EB⊥AD，推出BE⊥平面PAD，然后證明平面BEF⊥平面PAD；

（2）連接AC交BE于G，連接GF，證明PA∥FG，△AEC～△CBG，得到PF：FC＝AG：GC＝1：2，求出梯形BCDE的面積然后求解幾何體的體積．

（1）證明：PD⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PD⊥EB，

又底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且點E是棱AD的中點，所以EB⊥AD，

又PD∩AD＝D，所以BE⊥平面PAD，BE⊥平面PAD，BE平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAD．

（2）連接AC交BE于G，連接GF，則GF＝平面PAC∩平面BEF，

因為PA∥平面BEF，所以PA∥FG，

因為底面ABCD是菱形，且點E是棱AD的中點，所以△AEC～△CBG，

且AG：GC＝AE：BC＝1：2，

所以PF：FC＝AG：GC＝1：2，

梯形BCDE的面積，

所以．