Question

已知向量

a

=（x，1），

b

=（2，3x），則

a • b

| a |2+| b |2

的最大值是

2

4

．

Answer 1

分析：由題意和向量的數量積求出

a • b

| a |2+| b |2

的表達式，再對x分類，分別求出x≠0和x＜0時

a • b

| a |2+| b |2

的值或范圍；當x＞0時對式子化簡后，利用基本不等式得2x+

1

x

≥2

2

，代入后求出

a • b

| a |2+| b |2

的最大值，即得答案．

解答：解：∵

a

=（x，1），

b

=（2，3x），
∴

a • b

| a |2+| b |2

=

2x+3x

x2+1+4+9x2

=

5x

10x2+5

=

x

2x2+1

，
當x=0時，

a • b

| a |2+| b |2

=0；
當x≠0時，①x＜0時，

a • b

| a |2+| b |2

＜0，
②x＞0時，

a • b

| a |2+| b |2

=

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

，
∵x＞0，∴2x+

1

x

≥2

2

當且僅當2x=

1

x

時取等號，
∴

1

2x+ 1 x

≤

1

2 2

=

2

4

，
綜上得，

a • b

| a |2+| b |2

的最大值是

2

4

，
故答案為：

2

4

．

點評：本題是向量和函數結合的題型，考查了向量的數量積運算，基本不等式求函數的最值，以及分類討論思想．