Question

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)， 的面積為，直線過(guò)上的點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)為的短軸端點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交于，證明：四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性結(jié)合的面積為，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.

（2）設(shè)，得出直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，要證明交點(diǎn)在定直線上，尋求關(guān)系，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元得到的方程，得到關(guān)系，代入交點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.

（1）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，.

由題意得，，

又，且直線過(guò)上的點(diǎn)，所以.

又三點(diǎn)共線，所以，即，故.

又直線過(guò)上的點(diǎn)，所以，

即橢圓，將代入橢圓，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意，直線斜率必存在，設(shè)其方程為，

設(shè)，，則，，，，

聯(lián)立得，

所以，解得，

，，所以，

不妨設(shè)，，

所以直線方程為，直線方程為，

聯(lián)立整理，

解得

，

所以，四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)在定直線上.