Question

.(本小題滿分12分）
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函數f(x)的單調區間；
(II)若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函數f(x)圖象上不同的兩點，且a>b>0, 為f(x)的導函數，求證：
(III)求證

Answer 1

(1)
在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)構造函數利用單調性來證明不等式成立。
(3)在第二問的基礎上，進行適當的放縮得到證明。

試題分析：解：（Ⅰ）f(x)的定義域為，

時，>0, 在上單調遞增；
時，<0, 在上單調遞減.
綜上所述：
在上單調遞增,在上單調遞減.…………3分
（Ⅱ）要證，只需證,令即證，
令，
因此得證.…………………6分
要證，只要證，
令，只要證，
令，
因此，
所以得證.………………9分
另一種的解法:
令=,,
則 ,
所以在單調遞增，

即得證.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知,（），則

所以.………………12分
點評：解決該試題的關鍵是利用導數的正負來求解函數的單調區間，進而確定出最值，同時利用構造函數的思想，分離參數來求解函數的最值，解決不等式的恒成立問題，同時要對于不等式的證明，要采用適當的放縮來完成，屬于難度試題。