Question

(滿分12分)設(shè)函數(shù)。
（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，而使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)實(shí)數(shù)的最小值為。(Ⅱ)。

試題分析：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  
求導(dǎo)得：，        ………3分
∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002055688521.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。
∴，    ∴。故實(shí)數(shù)的最小值為。     ………6分
(Ⅱ)由得：

由題設(shè)可得：方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根………8分
設(shè)。∵，列表如下：

		－	0	＋
		減函數(shù)		增函數(shù)

 
∵，
∴。
從而有，                 ………10分
畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖

易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，
只需：，即：。      ………12分
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、研究函數(shù)圖象，是導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用。本題將“恒成立”問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題，將函數(shù)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)單調(diào)性、求最值問題，凸顯轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)的重要性。