Question

（文） 已知函數 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時，求實數a，b的值；
（2）若f（1）=0，當實數a變化時，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），根據一元二次不等式與二次函數及一元二次方程之間的辯證關系，我們可得x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，進而由韋達來之不易（一元二次方程根與系數的關系）構造關于a，b的方程，解方程即可得到實數a，b的值；
（2）由已知中函數 f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，且f（1）=0，我們可得b=（a-3）²-6，進而根據二次函數的圖象和性質，即可得到實數b的取值范圍．

解答：解：（1）故x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，
由韋達定理，得

-1+3- a(6-a) 3 -1×3-(- b 3 )

⇒

a-3± 3 b-9

                    …（8分）
（2）由f（1）=0得
b=（a-3）²-6，
∴b∈[-6，+∞）…（14分）

點評：本題考查的知識點二次函數的性質，一元二次不等式的應用，其中根據一元二次不等式解集的端點與二次函數的零點及一元二次方程的根之間的關系，將問題轉化為x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，是解答本題的關鍵．