Question

（文）已知函數f（x）=

a

a2-2

(ax-a-x)（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在R上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．
（2）利用函數單調性的性質，建立不等式關系即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）定義域為R，
則f（-x）=

a

a2-2

(a-x-ax)=-f(x)，
故f（x）是奇函數．
（2）設x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

a

a2-2

(ax1-a-x1)-

a

a2-2

(ax2-a-x2)=

a

a2-2

(ax1-ax2+a-x2-a-x1)=

a

a2-2

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

a

a2-2

(ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1ax2

)=

a

a2-2

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)，
即f(x1)-f(x2)=

a

a2-2

(ax1-a-x2)(1+

1

ax1+x2

)，
∵1+

1

ax1ax2

＞0，x₁＜x₂，
∴要使f（x）在R上是單調遞增函數，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
①當0＜a＜1時，ax1＞ax2，即ax1-ax2＞0，
此時a²-2＜0，
解得-

2

＜a＜

2

，
即0＜a＜1．
②當a＞1時，ax1＜ax2，即ax1-ax2＜0，
此時a²-2＞0，
解得a＞

2

或a＜-

2

，
此時a＞

2

．
綜上a＞

2

或0＜a＜1
綜上，實數a的取值范圍是（0，1）∪（

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．