Question

（2007•武漢模擬）（文） 已知函數f（x）=

3 sin4x

cos2x

-4sin²x．
（1）求函數f（x）的定義域和最大值；  
（2）求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）函數的解析式知，自變量x要滿足cos2x≠0，由此即可解出定義域，求函數的值域要先對函數的解析式進行化簡，解析式可變為f（x）=4sin（2x+

π

6

）-2由三角函數的有界性易得函數的最值；
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

6

）-2，求此函數的單調性增區間，令相位2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，從中解出x的取值范圍，即為函數的單調增區間．

解答：解：（1）由f（x）=

3 sin4x

cos2x

-4sin²x，x要滿足cos2x≠0，從而2x≠kπ+

π

2

 （k∈Z）
因此f（x）的定義域為{x|x≠

1

2

kπ+

π

4

，（k∈Z）}
又f（x）=2

3

sin2x-2（2sin²x-1）-2=2

3

sin2x+cos2x-2=4sin（2x+

π

6

）-2
∴-6≤f（x）≤2，當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，有f（x）=2
∴x=kπ+

π

6

，k∈Z時，f（x）的最大值為2
（2）由f（x）=4sin（2x+

π

6

）-2，2x≠2kπ±

π

2

 
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可知：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

 且x≠kπ-

π

4

 
于是f（x）在[kπ-

π

3

，kπ-

π

4

）上為增函數，在（kπ-

π

4

，kπ+

π

6

]上也是增函數．

點評：本題考查了二倍角的正弦、余弦公式，正弦的和角公式，三角函數最值的求法，綜合性較強，解題的關鍵是熟練掌握三角函數中的有關公式且能根據這些公式靈活變形，本題第二小題易出錯易因為忘記函數的定義域而出錯，做題是要前后結合，完成題目后要復查一遍，另外，有著嚴密的邏輯推理習慣也有助于此類題的正確解答